提供信息门户网站建设,360网站收录,网站服务器速度对seo有什么影响,博客网站源码代码随想录算法训练营第60天#xff5c;动态规划part17#xff5c; 647. 回文子串、516.最长回文子序列、动态规划总结篇
647. 回文子串
647. 回文子串
思路#xff1a;
暴力解法
两层for循环#xff0c;遍历区间起始位置和终止位置#xff0c;然后还需要一层遍历判断…代码随想录算法训练营第60天动态规划part17 647. 回文子串、516.最长回文子序列、动态规划总结篇
647. 回文子串
647. 回文子串
思路
暴力解法
两层for循环遍历区间起始位置和终止位置然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度O(n^3)
动态规划
动规五部曲
确定dp数组dp table以及下标的含义
如果大家做了很多这种子序列相关的题目在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么我们就如何定义dp数组。
绝大多数题目确实是这样不过本题如果我们定义dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话我们会发现很难找到递归关系。
dp[i] 和 dp[i-1] dp[i 1] 看上去都没啥关系。
所以我们要看回文串的性质。 如图 我们在判断字符串S是否是回文那么如果我们知道 s[1]s[2]s[3] 这个子串是回文的那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同如果相同的话这个字符串s 就是回文串。
那么此时我们是不是能找到一种递归关系也就是判断一个子字符串字符串的下表范围[i,j]是否回文依赖于子字符串下表范围[i 1, j - 1] 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]表示区间范围[i,j] 注意是左闭右闭的子串是否是回文子串如果是dp[i][j]为true否则为false。
确定递推公式
在确定递推公式时就要分析如下几种情况。
整体上是两种就是s[i]与s[j]相等s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等那没啥好说的了dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时这就复杂一些了有如下三种情况
情况一下标i 与 j相同同一个字符例如a当然是回文子串 情况二下标i 与 j相差为1例如aa也是回文子串 情况三下标i 与 j相差大于1的时候例如cabac此时s[i]与s[j]已经相同了我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了那么aba的区间就是 i1 与 j-1区间这个区间是不是回文就看dp[i 1][j - 1]是否为true。
以上三种情况分析完了那么递归公式如下
if (s[i] s[j]) {if (j - i 1) { // 情况一 和 情况二result;dp[i][j] true;} else if (dp[i 1][j - 1]) { // 情况三result;dp[i][j] true;}
}result就是统计回文子串的数量。
注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候因为在下面dp[i][j]初始化的时候就初始为false。
dp数组如何初始化
dp[i][j]可以初始化为true么 当然不行怎能刚开始就全都匹配上了。
所以dp[i][j]初始化为false。
确定遍历顺序
首先从递推公式中可以看出情况三是根据dp[i 1][j - 1]是否为true在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角如图 如果这矩阵是从上到下从左到右遍历那么会用到没有计算过的dp[i 1][j - 1]也就是根据不确定是不是回文的区间[i1,j-1]来判断了[i,j]是不是回文那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上从左到右遍历这样保证dp[i 1][j - 1]都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列然后遍历行其实也是一个道理都是为了保证dp[i 1][j - 1]都是经过计算的。
for (int i s.size() - 1; i 0; i--) { // 注意遍历顺序for (int j i; j s.size(); j) {if (s[i] s[j]) {if (j - i 1) { // 情况一 和 情况二result;dp[i][j] true;} else if (dp[i 1][j - 1]) { // 情况三result;dp[i][j] true;}}}
}举例推导dp数组
举例输入“aaa”dp[i][j]状态如下 图中有6个true所以就是有6个回文子串。
注意因为dp[i][j]的定义所以j一定是大于等于i的那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
代码
python
class Solution:def countSubstrings(self, s: str) - int:dp [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]result 0for i in range(len(s)-1, -1, -1): #注意遍历顺序for j in range(i, len(s)):if s[i] s[j]:if j - i 1: #情况一 和 情况二result 1dp[i][j] Trueelif dp[i1][j-1]: #情况三result 1dp[i][j] Truereturn result
双指针法
动态规划的空间复杂度是偏高的我们再看一下双指针法。
首先确定回文串就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。
在遍历中心点的时候要注意中心点有两种情况。
一个元素可以作为中心点两个元素也可以作为中心点。
那么有人同学问了三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。
所以我们在计算的时候要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。
这两种情况可以放在一起计算但分别计算思路更清晰我倾向于分别计算代码如下
class Solution:def countSubstrings(self, s: str) - int:result 0for i in range(len(s)):result self.extend(s, i, i, len(s)) #以i为中心result self.extend(s, i, i1, len(s)) #以i和i1为中心return resultdef extend(self, s, i, j, n):res 0while i 0 and j n and s[i] s[j]:i - 1j 1res 1return res516.最长回文子序列
516.最长回文子序列
思路
动规五部曲分析如下
确定dp数组dp table以及下标的含义
dp[i][j]字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
确定递推公式
在判断回文子串的题目中关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同那么dp[i][j] dp[i 1][j - 1] 2;
如图 如果这里看不懂回忆一下dp[i][j]的定义
如果s[i]与s[j]不相同说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的即dp[i][j] max(dp[i 1][j], dp[i][j - 1]); 代码如下
if (s[i] s[j]) {dp[i][j] dp[i 1][j - 1] 2;
} else {dp[i][j] max(dp[i 1][j], dp[i][j - 1]);
}dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况从递推公式dp[i][j] dp[i 1][j - 1] 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
所以需要手动初始化一下当i与j相同那么dp[i][j]一定是等于1的即一个字符的回文子序列长度就是1。
其他情况dp[i][j]初始为0就行这样递推公式dp[i][j] max(dp[i 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
vectorvectorint dp(s.size(), vectorint(s.size(), 0));
for (int i 0; i s.size(); i) dp[i][i] 1;确定遍历顺序
从递归公式中可以看出dp[i][j] 依赖于 dp[i 1][j - 1] dp[i 1][j] 和 dp[i][j - 1]如图 所以遍历i的时候一定要从下到上遍历这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
代码如下
for (int i s.size() - 1; i 0; i--) {for (int j i 1; j s.size(); j) {if (s[i] s[j]) {dp[i][j] dp[i 1][j - 1] 2;} else {dp[i][j] max(dp[i 1][j], dp[i][j - 1]);}}
}举例推导dp数组 代码
python
class Solution:def longestPalindromeSubseq(self, s: str) - int:dp [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]for i in range(len(s)):dp[i][i] 1for i in range(len(s)-1, -1, -1):for j in range(i1, len(s)):if s[i] s[j]:dp[i][j] dp[i1][j-1] 2else:dp[i][j] max(dp[i1][j], dp[i][j-1])return dp[0][-1]动态规划总结篇
动态规划总结篇
