首先一个显然的东西: \(|x| = \max(x, -x)\)
于是将曼哈顿距离进行转化：
\[|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| = \max(x_1-x_2+y_1−y_2,x_1−x_2+y_2−y_1,x_2−x_1+y_1−y_2,x_2−x_1+y_2−y_1)=\max(|(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2)|, |(x_1 - y_1) - (x_2 - y_2))
\]
可以看成将坐标系旋转 \(45°\) 后缩放 \(\sqrt{2}\) 倍后的结果，说人话就是 \((x, y)\) 变成 \((x + y, x - y)\)。
同理，对切比雪夫距离进行类似转化：
\[\max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|)=\max(|\frac{x_1 + y_1}{2} - \frac{x_2 + y_2}{2}|, |\frac{x_1 - y_1}{2} - \frac{x_2 - y_2}{2}|)
\]
相当于 \((x, y)\) 变成了 \((\frac{x + y}{2}, \frac{x - y}{2})\)
这东西有啥用呢？比如你要求一个 \(\max\) 曼哈顿距离状物，就可以转成切比雪夫距离，变成 \(\max(\max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|))\)，然后就可以把 \(\max(|x_1 - x_2|), \max(|y_1 - y_2|)\) 单独拆出来维护，就独立了。（abc437f）同理要求一个切比雪夫距离状物则可以转曼哈顿距离，然后求和里就没 \(\max\) 了。
例题很多，不一一赘述了。